\documentclass[11pt]{article}
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%profondeur de la table des matieres.
\setcounter{tocdepth}{1}
%*********************************************************
%*********************commandes****************************
%\input{/home/christine/Tex/commandes.sty}
%\input{/home/ge%----- Ensembles : entiers, reels, complexes -----
\newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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%----- Modifications de symboles -----
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\renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
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\newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]}
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%----- Fonctions usuelles -----
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%**********************commandes locales*********************

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\sloppy
\begin{document}
%
\begin{center}{\bf MPA S2 algèbre 2014 \\
Responsable: Christine Huyghe \\
Problème du 4 mars 2015. Durée : 2h.}\\
\end{center}

   
\vspace{+2cm}

\noindent Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits: les
documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique
(calculatrice, ...). Le barême noté n'est qu'indicatif. Vous pouvez admettre le résultat d'une question afin de traiter
les questions suivantes.

\vspace{+1cm}
%
%\tableofcontents
%}}}
\begin{enumerate}
%
				\item{\bf Exercice 1. Vrai/Faux}. Vous devez impérativement justifier votre réponse, si nécessaire par un
						contre-exemple.
		        \begin{enumerate}
			             	\item  Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,+\infty [$ à valeurs dans $\Rr$. 
						      Soit $F_1=\left\{f\in E \, | \, lim_{x\rig +\infty}|f(x)|=+\infty\right\}$, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
				            \item Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,+\infty [$ à valeurs dans $\Rr$. 
						 Soit $F_2=\left\{f\in E \, | \, lim_{x\rig +\infty}|f(x)|=0 \right\}$, $F_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
						    \item Soient $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ une famille libre de quatre vecteurs d'un espace vectoriel
									$E$. La famille $(e_1,e_1+e_2, e_1+e_2+e_3, e_1+e_2+e_3+e_4)$ est libre.
							\item Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\Cc)$ telles que $AB=0$. Alors $A=0$ ou $B=0$. 
							\item  Soient $(e_1,e_2,e_3)$ une base d'un $\Rr$-espace vectoriel $E$,
									et $F=Vect(e_1,e_2)$, alors $E=F \bigoplus \Rr e_3$.
		         \end{enumerate}

		 \item{\bf Exercice 2.}
		 \begin{enumerate} \item On rappelle que $j=e^{2i\pi/3}$. 
								 Soit $A$ la matrice suivante à coefficients dans $\Cc$,
								 $$A=\left(\begin{array}{ccc}
												 1 & -1 & j^2 \\
												 j & j^2 & 0 \\
												 1 & -j^2 & 1 \\
												 0 & 1 & 1 
				                              \end{array}\right).$$
											  Résoudre le système $AX=0$ pour $X\in M_{3,1}(\Cc)$ une matrice colonne.
							\item 
				 Les vecteurs suivants de $\Cc^4$ forment-ils une famille libre ?
                     $$ U=\left(\begin{array}{c} -1 \\ j^2 \\ -j^2\\ 1 \end{array}\right),\,
                     V=\left(\begin{array}{c} j^2  \\  0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \, 
                     W=\left(\begin{array}{c} 1 \\ j \\ 1 \\ 0\end{array}\right).$$
          \end{enumerate}
%
 \item{\bf Exercice 3.} \begin{enumerate}
				 \item Soit $E_n=\left\{P\in \Cc[X]\, | \, deg(P)\leq n \right\}$. Montrer que la famille 
						 $1,X,\ldots,X^n$ forme une base de $E_n$ comme $\Cc$-espace vectoriel.
				 \item Soient $\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ $n+1$ nombres complexes. Pour tout $i\in\{0,\ldots,n\}$, 
						 on note $$P_i(X)=\frac{\prod_{k\neq i}(X-\alpha_k)}{\prod_{k\neq i}(\alpha_i-\alpha_k)}.$$
						  Ces polynômes s'appellent polynômes de Lagrange.
						 \begin{enumerate} 
								 \item Pour cette question, on prend $n=2$, $\alpha_0=0$ et $\alpha_1=1$. Calculer 
										 $P_0$ et $P_1$ dans ce cas, les valeurs de ces polynômes 
										 en $0$ et $1$ et montrer qu'ils forment une base de $E_1$.
								 \item Pour cette question,\label{n3} on prend $n=3$, $\alpha_0=1$, $\alpha_1=j$ et
										 $\alpha_2=j^2$.
                                          \begin{enumerate} \item
										 Calculer les valeurs de $P_0$, $P_1$ et $P_2$ en $1$, $j$, $j^2$ et montrer que 
										 ces polynômes forment une base de $E_2$. On rappelle que $j=e^{2i\pi/3} $.
										 Montrer que 
										 $$P_0(X)=\frac{X^2+X+1}{3},\, P_1(X)=\frac{jX^2+j^2X+1}{3},
										 P_2(X)=\frac{j^2X^2+jX+1}{3}.$$
								 \item Soit $H=\left\{P\in E_2 \, | \, P(j^2)=0 \right\}$. Montrer que $H$ est un
														 sous-espace vectoriel de $E_2$, et que $P\in H \Leftrightarrow (X-j^2)| P$.
											    \item Montrer que $1-jX\in H$.
												\item Montrer que $X-j^2 \in Vect(P_0,P_1)$.
%												\item Montrer que $P_1$ et $P_2$ forment une base de $H$, et que 
%														 $$E_2=Vect(P_3)\bigoplus H.$$
												   \end{enumerate}
										 \item Montrer que dans le cas général, la famille $(P_0,\ldots,P_n)$ forme une base de
												 $E_n$.
						\end{enumerate}
						%On revient désormais à la situation $n=3$, $\alpha_1=1$, $\alpha_2=j$ et $\alpha_3=j^2$.
				 \item
						Soient $n=4$ et $F=\left\{P\in E_4 \, | \, P'(j)=0 \right\}$. 
						\begin{enumerate}
								\item Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E_4$.
								\item Soit $D$ la droite vectorielle de $E_4$ engendrée par le polynôme $X$. Montrer que 
										$$E_4 = D \bigoplus F.$$
								\item Calculer la décomposition des polynômes $1$, $X$ et $X^2$ suivant la 
										somme directe $E_4 = D \bigoplus F.$
								\item On reprend les polynômes de Lagrange $P_0$, $P_1$ et $P_2$ relatifs à $1$, $j$,
										$j^2$ de la question précédente Exercice ~\ref{n3}. Calculer la décomposition
										des polynômes $P_0$, $P_1$ et $P_2$ suivant la 
										somme directe $E_4 = D \bigoplus F.$
						\end{enumerate}
            \end{enumerate}
	\end{enumerate}
         
\end{document}
